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聊天語宙 | 關於量子力學建立與發展的過程的啟迪(一)

作者:陳濤時間:2021-04-27 20:25瀏覽次數:

  量子力學是人類科學史上發展的豐碑,在20世紀天才輩出的時代出現的它由於其似乎與常理毫不相容的現象而使人們產生了極大的困惑的同時也產生了極大的興趣。本文將就量子力學的建立過程嘗試以時間線為軸而簡單進行一下梳理並站在科學發展歷史的角度淺談一些拙劣的看法。


01黑體輻射與能量量子化

國際上公認的量子力學的生日是1900年12月14日。這一天,Planck發表了文章《論正常光譜的能量分佈定律的理論》,在這篇文章中第一次正式的提出了能量量子化的概念,而這篇劃時代的文章卻並未由於其與實驗數據擬合度好的令人拍案叫絕而使他的作者本人高興起來。事實上,相比於成功的解釋了實驗數據,Planck所面臨更大的問題是如何解釋他的理論於經典理論看起來完全不可調和的矛盾。

因此我們不妨先將時間線向前撥動一點,來看一下在當時究竟發生了什麼。

19世紀末,經典物理學的框架已經被建成。著名的Lord Kelvin在1900年的4月27日發表了一場著名的演講《在熱和光動力理論上的19世紀烏雲》中說到:“動力學理論斷言,熱和光都是運動的形式,但是在這一理論上的優美性和明晰性卻被兩朵烏雲遮蔽而顯得黯然失色,第一朵烏雲出現在黑體輻射實驗和理論的不一致,第二朵烏雲出現在關於能量均分的Maxwell-Boltzmann理論上……”而這兩朵烏雲所帶來的後果恐怕是Lord Kelvin以及當時近乎所有物理學家都沒有想到的。而其中第一朵烏雲所帶來的困難正是我們接下來所要主要討論的能量量子化問題。

關於黑體輻射所輻射出的電磁波的能量與頻率關係實際上在實驗上早已測定出了相當精準的數據從而得到了一條非常精準的實驗曲線(如圖1.1),而當時人們為了去擬合這條曲線而進行了一系列對於黑體輻射理論的解釋卻遇到了很大的困難。其中在Planck給出他的正確黑體輻射公式前,Rayleigh和Jeans已經給出了一條理論上的擬合公式,而這套理論的建立思路是完全按照經典電磁波理論而建立的,而得到的表達式是如下的形式:

1F5E


可以看到Rayleigh與Jeans的理論s 的理論中𝐸𝜈一個與𝜈2成正成正比,這顯然會導致一個荒謬的結論:雖然在低頻段與實驗曲線還算可以擬合上,然而隨著電磁波頻率等升高,黑體輻射的能量將以正比於其頻率的二次方的形式升高,這會導致該理論在波長較短的區域即紫外區域表現為發散形式,這在歷史上被稱為紫外災難。

為了避免這一缺陷,Wien於1896年找到了另一條方程來描述黑體輻射能量與頻率的關係,即:

Wien的理論在短波區於實驗曲線擬合的較好,但是在長波區會與實驗曲線有著較大的區別,但是註意到其函數變化形式基本與實驗曲線相似,於是Planck於1900年在Wien公式的基礎上加以改進,得到瞭如下表達式:


值得註意的是,Planck與Wien的表達式形式幾乎一模一樣,只不過前者在分母處加上了一個常數-1,便得到了與實驗曲線完美貼合的理論曲線。


於是現在的關鍵問題是如何對這個新方程進行物理含義的解釋,Planck對比了Rayleigh在考慮黑體輻射時的過程,將(3)式變形為:


考慮Rayleigh公式中的推導過程中存在N~v2dv,其中N為空腔中電磁波允許模式的態密度函數的個數,因此,(4)式中因子

應被解釋成頻率v的允許電磁波模式的平均能量,並且在將上式改寫為:


其中𝛽=1/kT,考慮統計力學公式中partition function:


滿足:


比較(6)(8)兩式不難看出二者形式上具有很大的相似性,因此令:


對左端等比級數展開,得到:


因此可以得到遞推關係:


令ℎ=𝑘𝐶2,(11)式於是化簡為:


這便是Planck所得到的結論,即在黑體輻射的空腔中,電磁波的能量將以不連續的,按照某一最小能量值的整數份而變化的,於是Planck公式(3)可改寫為:

可以看到上式在𝜈→∞時便退化為Wien公式,而當𝜈→0時,我們有:

正式Rayleigh-Jeans公式。而且可以發現上式並不包含常數h,因此這是一個經典物理的結果,這更驗證了Planck假設的正確性。

雖然對於黑體輻射的理論解釋已經十分明晰,但是這卻招致了一個與經典理論完全水火不相容的想法,即經典理論的能量必須是連續分佈的,而普朗克的能量量子化理論顯然是不能被經典理論所容納的。因此在1900年被提出後,Planck的理論並沒有引起太多人的關註,大部物理學家認為這可能只是一種較為巧妙地數學處理手段罷了,並沒有什麼太過深刻的物理含義,直到1905年Einstein發表的文章中再一次的用量子化的觀念解釋了光電效應,人們便不得不思考起量子化的具體物理意義了。







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